Question

在周长为定值的△ABC中，已知|AB|＝6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为

(1)建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．

(2)过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设|CA|＋|CB|＝2a(a＞3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆， 　　焦距2c＝|AB|＝6　　2分 　　因为 　　又，所以，由题意　　4分 　　此时，|PA|＝|PB|，P点坐标为P(0，±4)．C点的轨迹方程为　　5分 　　(2)不妨设A点坐标为A(－3，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2) 　　(1)当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y＝k(x＋3)代入椭圆方程得　　6分 　　有Δ≥0，所以而由椭圆第二定义可得 　　　　9分 　　当k＝0时，取最小值16　　10分 　　(2)当直线MN的倾斜角为90°时，x1＝x2＝－3，得　　11分 　　，故k≠0，即的最小值的集合为空集　　12分