Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，an=2an-1+1  (n∈N*，n≥2)，则该数列前n项和S_n=

2ⁿ⁺¹-n-2

．

Answer 1

分析：由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），可判断{a_n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，由此可求得a_n，然后利用分组求和法可得S_n．

解答：解：由a_n=2a_n-1+1，得a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
又a₁=1，所以{a_n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即an=2n-1，
所以S_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2ⁿ⁺¹-n-2．
故答案为：2ⁿ⁺¹-n-2．

点评：本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和等知识，考查转化思想，属中档题．