Question

已知公比q为正数的等比数列a_n的前n项和为S_n，且5s₂=4s₄．
（Ⅰ）求q的值．
（Ⅱ）若b_n=q+s_n-1，（n≥2，n∈N^*）且数列b_n也为等比数列，求数列（2n-1）b_n的前n项和T_n．

Answer 1

【答案】分析：（I）分q=1，q≠1两种情况，利用等比数列的求和公式，转化可得关于首项a₁和公比q的方程，从而可得a₁与q，可得答案，（II）由（I）代入可得b_n=，由题意结合等比数列通项的结构可得，从而可求a₁，进一步求出b_n，由于（2n-1）•b_n是等差数列与等比数列的积，适合用错位相减求和．
解答：解：（Ⅰ）若q=1，则5S₂=10a₁，4S₄=16a₁，∵a₁≠0，
∴5S₂≠4S₄，不合题意．（2分）
若q≠1，由5S₂=4S₄得，
∴，又q＞0，
∴．．（5分）
（Ⅱ），（7分）
由b_n为等比数列知：，得，
∴．（9分）
则①
②
两式相减化简得T_n=3-（12分）
点评：（I）等比数列的通项公式与前n和公式之间的关系关键在于熟练的应用公式，确定基本量之间的关系，而等比数列的求和公式时，要注意对公比q=1和q≠1的讨论
（II）熟练掌握等比数列通项公式的结构是解决此问题的关键，求和的方法关键在于通项，若数列a_n•b_n中a_n为等差数列，b_n为等比数列，对该数列求和用错位相减．