Question

【题目】若曲线和上分别存在点

和点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在轴上则

范围是( )

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），根据OA⊥OB可得=0，从而得出a关于x1+1的函数，求出此函数的值域即可得出a的范围．

详解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x2=﹣x1，

∴y1=f（x1）=，y2=g（﹣x1）=x12（x1+1）2．

∴=（x1，y1），=（﹣x1，y2），

∵OA⊥OB，∴=0，

即﹣x12+=0，

∴=1，即a=．

∵﹣1＜x1＜e﹣1，∴＜x1+1＜e．

令h（x）=（＜x＜e），则h′（x）=，

∴当＜x＜时，h′（x）＜0，当＜x＜e时，h′（x）＞0，

∴h（x）在（，）上单调递减，在[，e）上单调递增，

∴h（x）的最小值为h（）=2e，

又h（）=4，h（e）=e2，

∴h（x）的值域为[2e，e2），即a的范围为[2e，e2）．

故答案为：A．