Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，且有

lim

n→∞

(

a1

1+q

-qn)=

1

2

，则首项a₁的取值范围是（　　）

• A、0＜a₁＜1且a₁≠

  1

  2

• B、0＜a₁＜3且a₁=-3
• C、0＜a₁＜

  1

  2

• D、0＜a₁＜1且a₁≠

  1

  2

  或a1=3

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：对q讨论，①q=1时，②|q|＜1时，分别求出极限，解方程或不等式，即可得到范围．

解答： 解：①q=1时，

a1

2

-1=

1

2

，解得，a₁=3；
②|q|＜1时，且q≠0，

a1

1+q

=

1

2

，则a1=

1

2

(1+q)，
又0＜1+q＜1或1＜1+q＜2
则有0＜a1＜

1

2

或

1

2

＜a1＜1．
故选D．

点评：本题考查数列的极限运算，注意讨论公比，考查运算能力，属于中档题和易错题．