Question

已知正数x，y满足 x+y+

1

x

+

9

y

=10，则x+y的最大值为

8

．

Answer 1

分析：本题的关键是把（x+y）当做一个整体，通过基本不等式，化为关于（x+y）的不等式，进而求解．

解答：解：因为x+y+

1

x

+

9

y

=10，
所以(x+y)(x+y+

1

x

+

9

y

)=10(x+y)
即(x+y)2+

x+y

x

 +

9(x+y)

y

=10(x+y)，
化简得(x+y)2+

y

x

+

9x

y

+10=10(x+y)             (1)
因为

y

x

+

9x

y

≥2

y x • 9x y

=6，（当且仅当 y=3x 时 取等号）
所以 （1）式化为（x+y）²+6+10≤10（x+y）
即（x+y）²-10（x+y）+16≤0
解得2≤x+y≤8，
由

y=3x x+y=8

，解得

x=2 y=6

所以 当x=2，y=6时，x+y的最大值为8

点评：本题为基本不等式的应用与不等式解法的综合，属中档题．