Question

已知函数，其中.

（Ⅰ）是否存在实数，使得在处取极值？证明你的结论；

（Ⅱ）若在[-1,]上是增函数，求实数的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）f ′(x) = ax² – ax + 1 

假设存在实数a，使f (x)在x =处取极值，则

f ′() = –+ 1 = 0， ∴a = 4  --------------------------------------------------- 3分

此时，f ′(x) =

当x <时，f ′(x) > 0；当<x<1时，f ′(x) > 0.

∴x =不是f (x)的极值点，

故不存在实数a，使f (x)在x =处极值      -------------------------------- 6分

（Ⅱ）依题意知：当x∈[-1,]时，f ′(x) = ax² – ax + 1≥0恒成立，

（1）当a = 0时，f ′(x) = 1>0成立；

（2）当a>0时，f ′(x) = a (x)² + 1在上递减，则

g (x)_min = g () = 1≥0   ∴0<a≤4        ----------------------------------9分

（3）当a<0时，f ′(x) = a (x)² + 1在上递增，则

g (x)_min = g (-1) = 2a + 1≥0   ∴0>a≥ 

综上，≤a≤4为所求           -------------------------------------------------- 12分