Question

【题目】对于若数列满足则称这个数列为“数列”.

（Ⅰ）已知数列1, 是“数列”,求实数的取值范围;

（Ⅱ）是否存在首项为的等差数列为“数列”,且其前项和使得恒成立?若存在,求出的通项公式;若不存在,请说明理由;

（Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列是“数列”,数列不是“数列”,若试判断数列是否为“数列”,并说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据题目中所定义的“数列”，只需同时满足，解不等式可解m范围。（2）由题意可知，若存在只需等差数列的公差，即< ,代入n=1,n>1,矛盾。（3）设数列的公比为则， ，满足“数列”，即只需最小项即不是“数列”,且为最小项,

所以即,所以只能只有解或分两类讨论数列。

试题解析：（Ⅰ）由题意得

解得

所以实数的取值范围是

（Ⅱ假设存在等差数列符合要求,设公差为则

由得

由题意,得对均成立,即

①当时,

②当时,

因为

所以与矛盾,

所以这样的等差数列不存在.

（Ⅲ）设数列的公比为则

因为的每一项均为正整数,且

所以在中,“”为最小项.

同理, 中,“”为最小项.

由为“数列”,只需即

又因为不是“数列”,且为最小项,

所以即,

由数列的每一项均为正整数,可得

所以或

①当时, 则

令则

又

所以为递增数列,即

所以

所以对于任意的都有

即数列为“数列”.

②当时, 则

因为

所以数列不是“数列”.

综上:当时,数列为“数列”,

当时, 数列不是“数列”.