Question

【题目】已知抛物线C：，点在x轴的正半轴上，过点M的直线l与抛线C相交于A、B两点，O为坐标原点．

若，且直线l的斜率为1，求证：以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；

是否存在定点M，使得不论直线l绕点M如何转动，恒为定值？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)见解析

【解析】

写出直线AB方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理与弦长公式计算值，并求出线段AB的中点到准线的距离，证明该距离等于的一半，即可证明结论成立；设直线AB的方程为，并设点、，列出韦达定理，结合弦长公式得出的表达式，根据表达式为定值得出m的值，从而可求出定点M的坐标．

当时，且直线l的斜率为1时，直线l的方程为，设点、，

将直线l的方程代入抛物线C的方程，消去y得，，

由韦达定理可得，，

由弦长公式可得，

线段AB的中点的横坐标为3，所以，线段AB的中点到抛物线准线的距离为4，

因此，以AB为直径的圆与抛物线C的准线相切；

设直线l的方程为，设点、，

将直线l的方程代入抛物线方程并化简得，

由韦达定理可得，，

，同理可得，

所以，为定值，

所以，，即时，恒为定值．

此时，定点M的坐标为．