Question

1．已知各项均为正数的数列{a_n}满足a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=na_n²，试求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，化简为（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，得出2a_n=a_n+1，数列{a_n}是公比为2的等比数列．
（2）先求得数列b_n，再利用错位相消法求和即可．

解答 解：（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，
即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，
所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，
解得a₁=2，
故a_n=2ⁿ（n∈N^*）；
（2）b_n=na_n²=n•4ⁿ，
T_n=4+2•4²+3•4³+…+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ①
4T_n=4²+2•4³+3•4⁴+…+（n-1）•4ⁿ+n•4ⁿ⁺¹②
①-②有-3T_n=4+4²+4³+…+4ⁿ-n•4ⁿ⁺¹
=$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-n•4ⁿ⁺¹，
故T_n=$\frac{（3n-1）•{4}^{n+1}+4}{9}$．

点评 本题主要考查等比数列的判定、性质和数列的求和．对于一些特殊数列的求和可利用错位相减法、裂项法等方法来解决．