题目内容

已知
a
=ksinθ•
e1
+（2-cosθ）•
e2
，
b
=
e1
+
e2
，且
a
∥
b
，
e1
与
e2
不共线，θ∈（0，π）．
（1）求k与θ的关系；
（2）求k=f（θ）的最小值．
分析：（1）利用向量共线的充要条件列出等式，分离出k．
（2）利用三角函数的二倍角的正弦、余弦公式化简k的函数解析式；利用基本不等式求出最值，注意检验等号何时取得．
解答：解：（1）∵
a
 ∥
b
，∴
a
=λ
b
，ksinθ•
e1
+(2-cosθ)•
e2
=λ(
e1
+
e2
)，
∴
ksinθ=λ
2-cosθ=λ
∴k•sinθ=2-cosθ，
k=
2-cosθ
sinθ
=(θ∈(0，π))．
（2）k=
2-cosθ
sinθ
=
2-(1-2sin2
θ
2
) 
2sin
θ
2
cos
θ
2
=
3sin2
θ
2
+cos2
θ
2
 
2sin
θ
2
cos
θ
2


=
1+3tan2
θ
2
2tan
θ
2
=
3
2
tan
θ
2
+
1
2tan
θ
2
．
又∵θ∈（0，π），∴tan
θ
2
＞0．
∴k=
3
2
tan
θ
2
+
1
2tan
θ
2
≥
3

（当且仅当tan
θ
2
=
3
3
，即θ=
π
3
时取等号）
点评：本题考查向量共线的充要条件、考查三角函数的二倍角公式、考查利用基本不等式求函数的最值需满足的条件是：一正、二定、三相等．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，已知向量
a
=（-1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）(0≤θ≤
π
2
)．
（1）若
AB
⊥
a
，且|
AB
|=
5
|
OA
|(O为坐标原点），求向量
OB
；
（2）若向量
AC
与向量
a
共线，当k＞4，且tsinθ取最大值4时，求
OA
•
OC
．
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知
p
=(-1，2)，A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t），其中0≤θ≤
π
2

（1）若
AB
⊥
p
，且|
AB
|=
5
|
OA
|，求向量
OB
；
（2）若向量
AC
∥
p
，当k为大于4的某个常数时，tsinθ取最大值4，求此时
OA
与
OC
夹角的正切值．
已知定理：“如果两个非零向量
e1
，
e2
不平行，那么k1
e1
+k2
e2
=
0
（k1，k2∈R）的充要条件是k1=k2=0”．试用上述定理解答问题：
设非零向量
e1
与
e2
不平行．已知向量
a
=(ksinθ)•
e
1+(2-cosθ)•
e
2，向量
b
=
e
1+
e
2，且
a
∥
b
．求k与θ的关系式；并当θ∈R时，求k的取值范围．
已知
a
=ksinθ•
e1
+（2-cosθ）•
e2
，
b
=
e1
+
e2
，且
a
∥
b
，
e1
与
e2
不共线，θ∈（0，π）．
（1）求k与θ的关系；
（2）求k=f（θ）的最小值．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网