Question

设(3x-

x

)n的展开式的各项系数绝对值之和为M，二项式系数之和为N，若M-N=240，则展开式中x的有理项的项数为（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据二项式定理，可得(3x-

x

)n的展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC_n^r•3^n-r•xn-

3r

2

，即可得各项系数的绝对值，进而可得M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，又由题意，可得4ⁿ-2ⁿ=240，解可得n的值，可得其展开式的通项公式，分析x的指数可得答案．

解答：解：根据题意，(3x-

x

)n的展开式的通项为T_r+1=C_n^r•（3x）^n-r•（-

x

）^r=（-1）^rC_n^r•3^n-r•xn-

3r

2

；
则第r+1项系数的绝对值为|T_r+1|=C_n^r•3^n-r，
M=C_n⁰•3ⁿ+C_n¹•3^n-1+C_n²•3^n-2+…+C_nⁿ•3⁰=（3+1）^r=4ⁿ，
其展开式的二项式系数之和为N=2ⁿ，
又由M-N=240，可得4ⁿ-2ⁿ=240，
解可得2ⁿ=16，则n=4；
则(3x-

x

)n的展开式的通项为T_r+1=（-1）^rC₄^r•3^4-r•x

8-3r

2

；
分析可得，r=0、2、4时，T_r+1为有理项，
则展开式中x的有理项的项数为3；
故选C．

点评：本题考查二项式定理的应用，难点在于得到各项系数绝对值的表达式，进而由二项式定理求出M的值．