Question

【题目】在极坐标系中，已知圆C的圆心C（ ， ），半径r= ．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）若α∈[0， ），直线l的参数方程为 （t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（ ， ）的直角坐标为（1，1），

∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．

化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0

（2）解：将 代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，

得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，

即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．

∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1t2=﹣1．

∴|AB|=|t1﹣t2|= =2 ．

∵α∈[0， ），∴2α∈[0， ），

∴2 ≤|AB|＜2 ．

即弦长|AB|的取值范围是[2 ，2 ）

【解析】（1）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2 ， 进行代换即得圆C的极坐标方程．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1 ， t2 ， 则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．