Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=3a_n+2．
（Ⅰ）记b_n=a_n+1，求证：数列{b_n}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{na_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由a_n+1=3a_n+2，可知a_n+1+1=3（a_n+1）．
∵b_n=a_n+1，∴b_n+1=3b_n，
又b₁=a₁+1=3，
∴数列{b_n}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得，∴．
∴S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+…+n）
其中1+2+…+n==，
记+（n-1）×3^n-1+n×3ⁿ ①
∴3T_n=3²+2×3³+…+（n-1）×3ⁿ+n×3ⁿ⁺¹ ②
两式相减得-2T_n=3+3²+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=，
∴．
∴．
分析：（I）由a_n+1=3a_n+2，可知a_n+1+1=3（a_n+1）．可得数列{b_n}是以a₁+1=3为首项，以3为公比的等比数列．
（II）由（I）可得：得，于是．从而S_n=（1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ）-（1+2+…+n），对于前一个括号用“错位相减法”即可求出，后一个括号利用等差数列的前n项和公式即可得出．
点评：熟练掌握变形转化为等比数列、“错位相减法”、等差数列的前n项和公式事件他的关键．