Question

已知椭圆：

x2

16

+

y2

12

=1，左右焦点分别为F₁、F₂，P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°则△PF₁F₂的面积为

4

3

．

Answer 1

分析：依题意，在△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°，|F₁P|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=4，利用余弦定理可求得|F₁P|•|PF₂|的值，从而可求得△PF₁F₂的面积．

解答：解：∵椭圆的方程为

x2

16

+

y2

12

=1，
∴a=4，b=2

3

，c=2．
又∵P为椭圆上一点，∠F₁PF₂=60°，F₁、F₂为左右焦点，
∴|F₁P|+|PF₂|=2a=8，|F₁F₂|=4，
∴|F1F2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|F₁P||PF₂|-2|F₁P|•|PF₂|cos60°
=64-3|F₁P|•|PF₂|
=16，
∴|F₁P|•|PF₂|=16．
∴S△PF1F2=

1

2

|F₁P|•|PF₂|sin60°
=

1

2

×16×

3

2

=4

3

．
故答案为：4

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，考查余弦定理的应用与三角形的面积公式，属于中档题．