题目内容

已知椭圆方程
x2
16
+
y2
12
=1，F是椭圆的左焦点，直线l为对应的准线，直线l与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，过P点任作一条割线AB（如图），则∠AFM与∠BFN的大小关系为（　　）
分析：当AB斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN成立；当AB斜率不为0时，设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，进而可得直线AF，BF的斜率的和为0，从而可得结论．
解答：解：当AB的斜率为0时，显然∠AFM=∠BFN=0．
当AB的斜率不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为x=my-8，
代入椭圆方程，整理得（3m2+4）y2-48my+144=0
则△=（48m）2-4×144（3m2+4），
∴y1+y2=
48m
3m2+4
，y1y2=
144
3m2+4

∴kAF+kBF=
y1
x1+2
+
y2
x2+2
=
2my1y2-6(y1+y2)
(my1-6)(my2-6)
=
2m×
144
3m2+4
-6×
48m
3m2+4
(my1-6)(my2-6)
=0
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综上可知：恒有∠AFM=∠BFN．
故选C．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查斜率的计算，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C1：
x2
16
+
y2
12
=1，双曲线C2与C1具有相同的焦点，且离心率互为倒数．
①求双曲线C2的方程；
②圆C：x2+y2=r2（r＞0）与两曲线C1、C2交点一共有且仅有四个，求r的取值范围；是否存在r，使得顺次连接这四个交点所得到的四边形是正方形？
已知椭圆C：
x2
16
+
y2
4
=1，过点（2，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求切线l的方程；
（2）求弦AB的长．
（2011•徐汇区三模）定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆C1：
x2
4
+y2=1．
（1）若椭圆C2：
x2
16
+
y2
4
=1，判断C2与C1是否相似？如果相似，求出C2与C1的相似比；如果不相似，请说明理由；
（2）写出与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆Cb的方程；若在椭圆Cb上存在两点M、N关于直线y=x+1对称，求实数b的取值范围？
（3）如图：直线l与两个“相似椭圆”
x2
a2
+
y2
b2
=1和
x2
a2
+
y2
b2
=λ2(a＞b＞0，0＜λ＜1)分别交于点A，B和点C，D，证明：|AC|=|BD|
已知椭圆方程为
x2
16
+
y2
m2
=1(m＞0)，直线y=
2
2
x与该椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则m的值为
 
．

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