Question

已知函数．

（1）当x∈[2，4]时．求该函数的值域；

（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：

函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．

专题：

函数的性质及应用．

分析：

（1）令t=log₄x，则可将函数在x∈[2，4]时的值域问题转化为二次函数在定区间上的值域问题，利用二次函数的图象分析出函数的最值，即可得到函数的值域；

（2）令t=log₄x，则可将已知问题转化为2t²﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，即对t∈[1，2]恒成立，求出不等号右边式子的最小值即可得到答案．

解答：

解：（1），

此时，，

当t=时，y取最小值，

当t=或1时，y取最大值0，

∴

（2）若f（x）≥mlog₂x对于x∈[4，16]恒成立，

令t=log₄x，

即2t²﹣3t+1≥2mt对t∈[1，2]恒成立，

∴对t∈[1，2]恒成立

易知在t∈[1，2]上单调递增

∴g（t）_min=g（1）=0，

∴m≤0．

点评：

本题考查的知识点是对数函数的性质，二次函数在闭区间上的最值问题，函数恒成立问题，函数的最值，是函数图象和性质的简单综合应用，难度中档