Question

已知函数f（x）=|2^x-1-1|（x∈R）．
（1）证明：函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，并指出函数f（x）在区间（-∞，1）上的单调性．
（2）若函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点A（m，t），B（n，t），其中m＜n，求mn关于t的函数关系式．
（3）求mn的取值范围．

Answer 1

考点：函数的图象,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）用单调性的定义证明即可；
（2）易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，易得mn的表达式，解之即可；
（3）分两种情况，当0＜t＜

1

2

时，当

1

2

＜t＜1时，再由基本不等式可得．

解答： 解：（1）证明：任取x₁∈（1，+∞），x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，
f(x1)-f(x2)=|2x1-1-1|-|2x2-1-1|=(2x1-1-1)-(2x2-1-1)=

1

2

(2x1-2x2)，
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，
∴2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
所以f（x）在区间（1，+∞）上为增函数．
函数f（x）在区间（-∞，1）上为减函数．

（2）因为函数f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，相应的函数值为（0，+∞），在区间（-∞，1）上为减函数，相应的函数值为（0，1），由题意函数f（x）的图象与直线y=t有两个不同的交点，故有t∈（0，1），
易知A（m，t），B（n，t）分别位于直线x=1的两侧，由m＜n，得m＜1＜n，故2^m-1-1＜0，2^n-1-1＞0，
又A，B两点的坐标满足方程t=|2^x-1-1|，故得t=1-2^m-1，t=2^n-1-1，
即m=log₂（2-2t），n=log₂（2+2t），
故mn=log₂（2-2t）•log₂（2+2t）．

（3）当0＜t＜

1

2

时，0＜m＜1，1＜n＜log₂3，故0＜mn＜log₂3，
又mn≤

(m+n)2

4

=

1

4

[log2(4-4t2)]2＜

1

4

(log24)2=1，因此0＜mn＜1；
当

1

2

＜t＜1时，m＜0，0＜log₂3＜n＜2，从而mn＜0； 
综上所述，mn的取值范围为（-∞，1）．

点评：本题主要考查函数性质的综合运用，合理转化是解题的关键，注意运算要细心．