Question

（1）求证：若x＞0，则ln（1+x）＞

x

1+x

；
（2）若a，b＞0求证：lna-lnb≥1-

b

a

．

Answer 1

分析：（1）欲证ln（1+x）＞

x

1+x

，设f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

利用导数证明出当x＞0时f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函数．结合f（x）＞f（0）=0即得；
（2）欲证lna-lnb≥1-

b

a

，令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，由（1），f（x）在x=0处取得最小值．即ln（1+x）-

x

1+x

≥0从而证得lna-lnb≥1-

b

a

．

解答：（1）f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，∴f′（x）=

x

(1+x) 2

x＞0时f′（x）＞0，在（0，+∞）上是增函数．
∴x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴ln（1+x）＞

x

1+x

（2）令f（x）=ln（1+x）-

x

1+x

，
由（1），f（x）在x=0处取得最小值．
即ln（1+x）-

x

1+x

≥0
∴而lna-lnb-1+

b

a

=ln

a

b

+

b

a

-1=f（

a

b

-1)
∴lna-lnb-1+

b

a

≥0
即lna-lnb≥1-

b

a

．

点评：本小题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的证法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．