Question

已知点P（2，0）及圆C：x²+y²-6x+4y+4=0。
（1）若直线l过点P且与圆心C的距离为1，求直线l的方程；
（2）设过点P的直线l₁与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；
（3）设直线ax-y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设直线的斜率为k（k存在），
则方程为，即，
又圆C的圆心为（3，-2），半径r=3，
由， 解得，
所以，直线的方程为，即，
当的斜率不存在时，的方程为x=2，经验证x=2也满足条件。
（2）由于，而弦心距，
所以，
所以P恰为MN的中点，
故以MN为直径的圆Q的方程为。
（3）把直线，代入圆C的方程，
消去y，整理得，
由于直线交圆C于A，B两点，
故，
即，解得：，
则实数a的取值范围是。
设符合条件的实数a存在，由于垂直平分弦AB，故圆心C（3，-2）必在上，
所以的斜率，而，所以，
由于，
故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线垂直平分弦AB。