Question

已知函数f（x）=|log_a（x+1）|（a≥2）的定义域为[m，n]，值域为[0，2]，则在平面直角坐标系内，点（m，n）的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积的最小值为（　　）

• A．4
• B．2
• C．

  9

  4

• D．

  17

  4

Answer 1

分析：作出函数f（x）=）=|log_a（x+1）|的图象，令|log_a（x+1）|=2，解得x=a²-1或x=

1

a2

-1，由图象可得m，n所满足的不等式，由线性规划知识可画出点（m，n）的轨迹与两坐标轴围成的图形，从而可表示出面积S，利用导数可求得S的最小值．

解答：解：作出函数f（x）=）=|log_a（x+1）|的图象，如图所示：
令|log_a（x+1）|=2，解得x=a²-1或x=

1

a2

-1，
∵f（x）的定义域为[m，n]，值域为[0，2]，
∴由图象可得，

n=a2-1 1 a2 -1≤m≤0

或

m= 1 a2 -1 0≤n≤a2-1

，
点（m，n）的运动轨迹与两坐标轴围成的图形如图阴影所示：
则阴影面积S=（a²-1）（1-

1

a2

）=a²+

1

a2

-2，
令t=a²（t≥4），则S=t+

1

t

-2，S′=1-

1

t2

＞0，S在[4，+∞）上递增，
∴S的最小值为4+

1

4

-2=

9

4

，当t=4时取得等号，
故选C．

点评：本题考查函数的定义域、值域及线性规划知识，考查导数的简单应用，属中档题，由函数定义域、值域得到m，n满足的条件并画出可行域是解决本题的关键．