Question

已知|m|＜1，直线l₁：y=mx+1，l₂：x=-my+1，l₁与l₂相交于点P，l₁交y轴于点A，l₂交x轴于点B
（1）证明：l₁⊥l₂；
（2）用m表示四边形OAPB的面积S，并求出S的最大值；
（3）设S=f（m），求U=S+

1

S

的单调区间．

Answer 1

分析：（1）根据斜率之积等于-1，可得故l₁⊥l₂．
（2）根据四边形OAPB为圆内接四边形，由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
三角形OAB的面积易求，把l₁与l₂相的方程联立方程组可解得点P坐标，再求出点P到 AB 的距离，APB的面积
可求．
（3）由函数的导数大于0，可得此函数在定义域内是增函数．

解答：解：（1）由题意知，m≠0，l₁与l₂的斜率分别为 m，

1

-m

，斜率之积等于-1，故l₁⊥l₂．
（2）由题意知，A（0，1），B（1，0），AB=

2

，四边形OAPB为圆内接四边形（有一组对角互补且都是直角），
把l₁与l₂相的方程联立方程组可解得点P（

1-m

1+m2

，

1+m

1+m2

），AB 的方程为x+y-1=0，
点P到 AB 的距离为

| 1-m 1+m2 + 1+m 1+m2 -1|

2

=

1-m2

2 (1+m2)

，
 由四边形OAPB的面积S等于两个直角三角形OAB和APB的面积之和，
∴S=

1

2

×1×1+

1

2

×

2

×

1-m2

2 (1+m2)

=

1

2

+

1-m2

2(1+m2)

=

1

1+m2

，
故 m=0 时，S有最大值为 1．
（3）U=S+

1

S

=

1

1+m2

+（1+m²），|m|＜1，U的导数U′=

-2m

1+m2

+2m=2m（1-

1

1+m2

）＞0，
∴U 在其定义域（-1，1）内是单调增函数．

点评：本题考查两直线垂直的条件，用分割法求四边形的面积，利用导数判断函数的单调性．