Question

已知m＞1，直线l：x-my-

m

2

2=0，椭圆C：

x2

m2

+y2=1，F₁，F₂分别为椭圆C的左右焦点．设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF₁F₂，△BF₁F₂的重心分别为G，H，若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由直线与椭圆的方程联立消去x得到关于y的一元二次方程，由△＞0可得m满足的条件，可得根与系数的关系，由

AG

=2

GO

，

BH

=2

HO

，可知G(

x1

3

，

y1

3

)，(

x2

3

，

y2

?3

)，|GH|2=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

?设M是GH的中点，则M(

x1+x2

6

，

y1+y2

6

)，再利用2|MO|＜|GH|，即可得出m的取值范围．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x=my+ m2 2 x2 m2 +y2=1

消去x得2y2+my+

m2

4

-1=0，
则由△=m2-8(

m2

4

-1)=-m2+8＞0，解得m²＜8；
∴y1+y2=-

m

2

，y1y2=

m2

8

-

1

2

．
由于F₁（-c，0），F₂（c，0），故O为F₁F₂的中点，
由

AG

=2

GO

，

BH

=2

HO

，可知G(

x1

3

，

y1

3

)，(

x2

3

，

y2

?3

)，|GH|2=

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

?
设M是GH的中点，则M(

x1+x2

6

，

y1+y2

6

)，
由题意可知2|MO|＜|GH|，即4[(

x1+x2

6

)2+(

y1+y2

6

)2]＜

(x1-x2)2

9

+

(y1-y2)2

9

，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
而x1x2+y1y2=(my1+

m2

2

)(my2+

m2

2

)+y1y2=(m2+1)(

m2

8

-

1

2

)，
∴

m2

8

-

1

2

＜0，即m²＜4，
又因为m＞1，且△＞0，∴1＜m＜2，
∴m的取值范围是（1，2）．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、三角形的重心定理、中点坐标公式、向量的运算、点与圆的位置关系、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．