Question

把一个半径为5

3

2

cm的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为

20

．

Answer 1

分析：根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据金属球的体积等于圆锥体积即可求得圆锥底面圆的半径，从而得出这个圆锥的高．

解答：解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，
由题意得S_底面面积=πr²，
S_扇形=3S_底面面积=3πr²，
l_扇形弧长=l_底面周长=2πr．
由S_扇形=

1

2

l_扇形弧长×R得3πr²=

1

2

×2πr×R，
故R=3r．即母线长为3r，∴这个圆锥的高为

(3r)2-r2

=2

2

r，
根据题意得，

1

3

×πr²×2

2

r=

4

3

π×(5

3	2

)3
∴r=5

2

．
则这个圆锥的高为2

2

r=20．
故答案为：20．

点评：本题考查球的体积和表面积．通过圆锥的底面和侧面，结合有关圆、扇形的一些计算公式，重点考查空间想象能力、综合应用能力．熟记圆的面积和周长公式、扇形的面积和两个弧长公式并灵活应用是解答本题的关键．