Question

如图，在一个奥运场馆建设现场，现准备把一个半径为

3

m的球形工件吊起平放到6m高的平台上，工地上有一个吊臂长DF=12m的吊车，吊车底座FG高1.5m．当物件与吊臂接触后，钢索CD长可通过顶点D处的滑轮自动调节并保持物件始终与吊臂接触．求物件能被吊车吊起的最大高度，并判断能否将该球形工件吊到平台上？

Answer 1

分析：吊车能把球形工件吊上的高度y取决于吊臂的张角设此角为θ，由图可知y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5，进而可得y关于θ的关系式y=12sinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5，进而求得导函数所以y/=12cosθ-

3 •sinθ

cos2θ

，令y^/=0，可得12cosθ=

3 sinθ

cos2θ

，4

3

cos3θ=sinθ根据同角三角函数的关系，转化成关于tanθ的关系式，求得tanθ的值，进而求得θ．故可推断当0°＜θ＜60°时，y^′＞0，判定y单调递增，当60°＜θ＜90°时，y^′＜0，y单调递减，进而可知θ=60°时，y取最大值，求得此时y≈6.6，进而可断定吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上．

解答：解：由图可知，y=AB+1.5=AD-OD-OB+1.5=DFsinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5=12sinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5．
所以y/=12cosθ-

3 •sinθ

cos2θ

由y^/=0，得12cosθ=

3 sinθ

cos2θ

，4

3

cos3θ=sinθ
∴4

3

=tanθ(1+tan2θ)，tan3θ+tanθ-4

3

=0，tan3θ-(

3

)3+tanθ-

3

=0(tanθ-

3

)(tan2θ-

3

tanθ+4)=0，
∴tanθ=

3

，θ=600，
当0°＜θ＜60°时，
12cos3θ＞

3

2

，

3

sinθ＜

3

2

，∴y′＞0
同理，当60°＜θ＜90°时，y'＜0，
所以当0°＜θ＜60°时，y单调递增，当60°＜θ＜90°时，y单调递减，
所以θ=60°时，y取最大值.ymax=12sinθ-

3

cosθ

-

3

+1.5=3

3

+1.5≈6.6(m)
所以吊车能把圆柱形工件吊起平放到6m高的桥墩上．

点评：本题主要考查解三角形的实际应用．当涉及最值问题时，可借助函数的单调性来解决．