Question

已知M是△ABC内一点，且

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°，若△MBC，△MAB，△MAC的面积分别为

1

2

，x，y，则

1

x

+

1

y

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：解：由

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°利用向量的数量积可得|

AB|

•|

AC

| =4
 由 S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|sin30°=1可得x+y=

1

2

而

1

x

+

1

y

=2×(

x+y

x

+

x+y

y

)=4+2(

y

x

+

x

y

)利用基本不等式可求．

解答：解：由

AB

•

AC

=2

3

，∠BAC=30°
可得|

AB

|• |

AC

|cos30°=2

3

∴|

AB|

•|

AC

| =4
∴S△ABC=

1

2

|

AB

||

AC

|sin30°=1
即x+y+

1

2

=1
∴x+y=

1

2

则

1

x

+

1

y

=2×(

x+y

x

+

x+y

y

)=4+2(

y

x

+

x

y

)≥4+2•2

y x • x y

=8
故答案为：8

点评：本题主要考查了向量的数量积的定义，三角形的面积公式，及利用基本不等式求解函数的最值，要注意在解题中等号成立的条件的检验．