Question

设函数f(x)＝x²＋bln(x＋1)，其中b≠0．

(Ⅰ)当时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；

(Ⅱ)求函数f(x)的极值点；

(Ⅲ)证明对任意的正整数n，不等式都成立．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)函数的定义域为．， 　　令，则在上递增，在上递减，． 　　当时，，在上恒成立． 　　即当时，函数在定义域上单调递增． 　　(Ⅱ)分以下几种情形讨论： 　　(1)由(Ⅰ)知当时函数无极值点． 　　(2)当时，， 　　时，时， 　　时，函数在上无极值点． 　　(3)当时，解得两个不同解，． 　　当时，，， 　　此时在上有唯一的极小值点． 　　当时， 　　在都大于0，在上小于0， 　　此时有一个极大值点和一个极小值点． 　　综上可知，时，在上有唯一的极小值点； 　　时，有一个极大值点和一个极小值点； 　　时，函数在上无极值点． 　　(Ⅲ)当时， 　　令 　　则在上恒正， 　　当时，恒有． 　　即当时，有， 　　在上单调递增， 　　对任意正整数，取得