已知函数f(x)=[x[x]](n＜x＜n+1.n∈N*).其中[x]表示不超过x的最大整数.如[-2.1]=-3.[-3]=-3.[2.5]=2．定义an是函数f(x)的值域中的无素个数.数列{an}的前n项和为Sn.若$\sum {i=1}^{n}$$\frac{1}{{S} {1}}$＜$\frac{m}{10}$对n∈N*均成立.则最小正整数m的值为20� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．已知函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1，n∈N^*），其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2．定义a_n是函数f（x）的值域中的无素个数，数列{a_n}的前n项和为S_n，若$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$＜$\frac{m}{10}$对n∈N^*均成立，则最小正整数m的值为20．

分析先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，S_n，运用裂项相消求和和不等式恒成立思想，即可得到m的范围，进而得到最小值．

解答解：∵函数f（x）=[x[x]]（n＜x＜n+1），
∴[x]=n，则x[x]=nx，
∴函数f（x）的值域中的元素个数是n，
∴a_n=n，S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$=2（1-$\frac{1}{2}$）+2（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$），
由于$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{1}{{S}_{1}}$＜$\frac{m}{10}$对n∈N^*均成立，
即有2≤$\frac{m}{10}$，即为m≥20．
则最小正整数m的值为20．
故答案为：20．

点评本题主要考查通过取整函数来建立新函数，进而研究其定义域和值域，以及考查了数列与不等式的综合，属于中档题．