Question

已知f(x)= x³-2ax²-3x(a∈R),

(1)当|a|≤时,求证:f(x)在(-1,1)内是减函数;

(2)当a＞时,求证:f(x)在(-1,1)内有极值,且是极大值.?

Answer 1

证明:(1)由已知,f′(x)=2x²-4ax-3.                                                                  ?

∵|a|≤,∴f′(-1)=4(a-)≤0,f′(1)=-4(a+)≤0.                                    ?

又∵f′(x)的开口向上，?

∴在(-1，1)内f′(x)＜0.故f(x)在(-1，1)内是减函数.                                    ?

(2)当a＞时,f′(-1)=4(a-)＞0,?

f′(1)=-4(a+)＜0.                                                                                                  ?

∴在(-1，1)内存在x₀,使f′(x₀)=0.?

∵f′(x)的开口向上，?

∴x∈(-1,x₀)时,f′(x)＞0;x∈(x₀,1)时,f′(x)＜0.                                                ?

∴f(x)在x=x₀处取得极大值.?

故a＞时,在(-1，1)内存在极值，是极大值.