题目内容

（1）已知f(x+
1
x
)=x3+
1
x3
，则函数f（x）的解析式为
 
；
（2）已知3f（x）+5f（
1
x
）=
2
x
+1，则函数f（x）的解析式为
 
．
分析：（1）利用配凑法：根据立方和公式可把f（x+
1
x
）化为（x+
1
x
）[(x+
1
x
)2-3]，从而可得f（x）的解析式；
（2）方程法：根据所给等式，令
1
x
替换x可得3f（
1
x
）+5f（x）=2x+1，与已知等式联立消掉f（
1
x
）可得f（x）；
解答：解：（1）f(x+
1
x
)=x3+
1
x3
=（x+
1
x
）（x2+
1
x2
-1）=（x+
1
x
）[(x+
1
x
)2-3]，
∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x，
故答案为：f（x）=x3-3x；
（2）由3f（x）+5f（
1
x
）=
2
x
+1①，
令
1
x
替换x，得3f（
1
x
）+5f（x）=2x+1②，
②×5-①×3，得16f（x）=5（2x+1）-3（
2
x
+1）=10x-
6
x
+2，
解得f（x）=
5
8
x-
3
8x
+
1
8
，
故答案为：f（x）=
5
8
x-
3
8x
+
1
8
．
点评：本题考查函数解析式的求法，属基础题，熟记求解析式的基本方法是解决该类题目的基础．
练习册系列答案
相关题目
（1）已知f（x）=x2-1，g（x）=
1-x，x＞0
2-x，x＜0
，求f[g（x）]和g[f（x）]的表达式．
（2）已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f（x）=2f（
1
x
）
x
-1，求f（x）的表达式．
给出下列四个命题：
①已知f(x)+2f(
1
x
)=3x，则函数g（x）=f（2x）在（0，1）上有唯一零点；
②对于函数f(x)=x
1
2
的定义域中任意的x1、x2（x1≠x2）必有f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
；
③已知f（x）=|2-x+1-1|，a＜b，f（a）＜f（b），则必有0＜f（b）＜1；
④已知f（x）、g（x）是定义在R上的两个函数，对任意x、y∈R满足关系式f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•g（y），且f（0）=0，但x≠0时f（x）•g（x）≠0．则函数f（x）、g（x）都是奇函数．
其中正确命题的序号是
①③
①③
．
给出以下五个命题：
①任意n∈N*，（n2-5n+5）2=1．
②已知f(x)=
x
1+x2
，则
f(f(f(…)))
 n个
=
x
1+nx2
．
③设全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={3，4}，B={3，6}，则CU（A∪B）={1，2，3，5，6}．
④定义在R上的函数y=f（x）在区间（1，2）上存在唯一零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0．
⑤已知a＞0，b＞0，则
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4．
其中正确命题的序号是
②⑤
②⑤
．
（1）已知f(
x
-1)=x+
x
，求函数f（x）的解析式．
（2）已知f（x）+2f（-x）=x2+2x，求f（x）的解析式．
已知f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且对任意正数x，y都有f（xy）=f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数；
（2）若f（3）=1，集合A={x|f（x）＞f（x-1）+2}，B={x|f(
(a+1)x-1x+1
)＞0，a∈R}，A∩B=∅，求实数a的取值范围．

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