题目内容

已知数列{an}，{bn}都是由正数组成的等比数列，公比分别为p、q，其中p＞q，且p≠1，q≠1．设cn=an+bn，Sn为数列{cn}的前n项和．求
lim
n→∞
Sn
Sn-1
．
Sn=
a1(pn-1)
p-1
+
b1(qn-1)
q-1
，
Sn
Sn-1
=
a1(q-1)(pn-1)+b1(p-1)(qn-1)
a1(q-1)(pn-1-1)+b1(p-1)(qn-1-1)
．
分两种情况讨论．（Ⅰ）p＞1．
∵p＞q＞0，0＜
q
p
＜1，
 
lim
n→∞
Sn
Sn-1
=
lim
n→∞
pn[a1(q-1)(1-
1
pn
)+b1(p-1)(
qn
pn
-
1
pn
)]
pn-1[a1(q-1)(1-
1
pn-1
)+b1(p-1)(
qn-1
pn-1
-
1
pn-1
)]

=p•
lim
n→∞
a1(q-1)(1-
1
pn
)+b1(p-1)[(
q
p
)n-
1
pn
]
a1(q-1)(1-
1
pn-1
)+b1(p-1)[(
q
p
)n-1-
1
pn-1
]
=p•
a1(q-1)
a1(q-1)

=p．
（Ⅱ）p＜1．
∵0＜q＜p＜1，
lim
n→∞
Sn
Sn-1
=
lim
n→∞
a1(q-1)(pn-1)+b1(p-1)(qn-1)
a1(q-1)(pn-1-1)+b1(p-1)(qn-1-1)
=
-a1(q-1)-b1(p-1)
-a1(q-1)-b1(p-1)
=1
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an}满足：a1＜0，
an+1
an
=
1
2
，则数列{an}是（　　）
已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），
（I）若bn=
ann
+1，试证明数列{bn}为等比数列；
（II）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn．
（2013•顺义区二模）已知数列{an}中，an=-4n+5，等比数列{bn}的公比q满足q=an-an-1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|bn|=（　　）
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，则数列{an}的通项公式为
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
an=
5
      n=1
2n+2
    n≥2
．
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，那么它的通项公式为an=
2n
2n
．

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