Question

已知正弦曲线f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0,0＜φ＜π)的一部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求证:x=1是y=f(x)的对称轴;

(3)求y=f(x)关于x=2对称的图象y=g(x)的解析式.

Answer 1

(1)解:因为f(x)在x=1时有最大值2,在x=7时有最小值-2,又T=2(7-1)=12,

所以ω==,A=2,

所以f(x)=2sin(+φ).

又图象过(1,2)点,

所以2sin(+φ)=2.

结合0＜φ＜π,

可得φ=,

所以f(x)=2sin(x+).

(2)证明:因为f(1+t)=2sin［(1+t)+］

=2sin(+t)=2cos(t),

f(1-t)=2sin［(1-t)+］

=2sin(-t)=2cos(t),

所以f(1+t)=f(1-t).

所以x=1是y=2sin(x+)图象的对称轴.

(3)解:与y=f(x)关于x=2对称的函数为y=f(4-x),

所以g(x)=f(4-x)=2sin［(4-x)+］

=2sin(x),即g(x)=2sin(x).