Question

已知函数f（x）=2sin（

x

2

-

π

3

）
（1）写出函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它的图象；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间和对称轴的方程．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=Asin（ωx+∅）中各个量的物理意义求得振幅、周期、初相．根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，可得如何由正弦曲线得出它的图象．
（2）令 2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．令

1

2

x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x的值，即可求得函数的对称轴方程．

解答：解：（1）由于函数f（x）=2sin（

x

2

-

π

3

），故函数的振幅为2，周期为T=

2π

ω

=

2π

1 2

=4π，初相为-

π

3

．
把正弦曲线y=sinx的图象上的各个点项右平移

π

3

个单位，可得函数y=sin（x-

π

3

）的图象；
再把所得图象上各个点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得函数y=y=sin（

1

2

x-

π

3

）的图象；
再把所得图象上各个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，可得函数y=y=2sin（

1

2

x-

π

3

）的图象．
（2）令 2kπ+

π

2

≤

1

2

x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得 4kπ+

5π

3

≤x≤4kπ+

11π

3

，k∈z，
故函数的减区间为[4kπ+

5π

3

，4kπ+

11π

3

]，k∈z．
令

1

2

x-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=2kπ+

5π

3

，故函数的对称轴方程为x=2kπ+

5π

3

，k∈z．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+∅）中各个量的物理意义，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，y=Asin（ωx+∅）的
对称性、单调性，属于中档题．