Question

（2008•温州模拟）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=

7

，且4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

．
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由三角形的内角和定理及诱导公式化简已知的等式4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

，再根据二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后得到关于cosC的方程，求出方程的解得到cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，再根据完全平方公式变形后，将a+b，c及cosC的值代入求出ab的值，然后再由ab，sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（1）∵A+B+C=180°，
∴

A+B

2

=90°-

C

2

，
由4sin2

A+B

2

-cos2C=

7

2

得：4cos2

C

2

-cos2C=

7

2

，
∴4•

1+cosC

2

-(2cos2C-1)=

7

2

，
整理得：4cos²C-4cosC+1=0，
解得：cosC=

1

2

，
∵0°＜C＜180°，
∴C=60°；
（2）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+b²-ab，
∴7=（a+b）²-3ab=25-3ab?ab=6，
∴S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×6×

3

2

=

3 3

2

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：诱导公式，二倍角的余弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式，以及完全平方公式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．