Question

20．已知△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}$S．
（1）求cosA；
（2）求a=$\sqrt{6}$，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}$S，结合三角形的面积公式，即可求cosA；
（2）利用正弦定理，结合a=$\sqrt{6}$，即可求△ABC周长的最大值．

解答 解：（1）∵△ABC的面积为S，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{2}S$，∴$bccosA=\sqrt{2}×\frac{1}{2}bcsinA$，
∴$sinA=\sqrt{2}cosA$，∴A为锐角，且${sin^2}A+{cos^2}A={sin^2}A+\frac{1}{2}{sin^2}A=\frac{3}{2}{sin^2}A=1$，
∴$sinA=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，所以$cosA=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
（2）$\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=3$，
∴周长为$a+b+c=\sqrt{6}+3sinB+3sinC=\sqrt{6}+6sin\frac{B+C}{2}cos\frac{B-C}{2}$
=$\sqrt{6}+6sin\frac{π-A}{2}cos\frac{B-C}{2}$=$\sqrt{6}+6cos\frac{A}{2}cos\frac{B-C}{2}≤\sqrt{6}+6cos\frac{A}{2}$，
∵$cosA=2{cos^2}\frac{A}{2}-1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$cos\frac{A}{2}=\sqrt{\frac{{3+\sqrt{3}}}{6}}$，
∴周长最大值为$\sqrt{6}+\sqrt{6\sqrt{3}+18}$．

点评 本题考查正弦定理，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．