Question

16．已知函数f（x）=e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$-ax有且只有一个零点，则实数a的取值范围为（-∞，0）∪{$\root{3}{2e}$}．

Answer 1

分析 函数f（x）=e^x-ax有且只有一个零点可化为函数y=e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$与y=ax的图象有且只有一个交点；分a＜0与a＞0作图讨论即可．

解答 解：∵函数f（x）=e^x-ax有且只有一个零点，
∴函数y=e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$与y=ax的图象有且只有一个交点；
当a＜0时，作函数y=e^x与y=ax的图象如下，

结合图象知，当a＜0时成立，
当a＞0时，作函数y=e^x与y=ax的图象如下，

相切时成立，
故（e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$）′=$\frac{2x}{a}$e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$=$\frac{{e}^{\frac{{x}^{2}}{a}}}{x}$；
故x²=$\frac{a}{2}$；
且切点（x，e${\;}^{\frac{{x}^{2}}{a}}$）在直线y=ax上知，
${e}^{\frac{1}{2}}$=a•$\sqrt{\frac{a}{2}}$；
故a=$\root{3}{2e}$；
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0）∪{$\root{3}{2e}$}．
故答案为：（-∞，0）∪{$\root{3}{2e}$}．

点评 本题考查了学生作图与用图的能力，同时考查了导数的几何意义的应用，属于中档题．