Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E，F分别为AB，SC的中点．
（1）证明：EF∥平面SAD；
（2）设SD=2DC，求BD与面SBC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点，利用三角形中位线的性质，可证AEFG为平行四边形，从而可得线线平行，利用线面平行的判定，即可证明EF∥平面SAD．
（2）过D作SC的垂线于交SC于H，连接BH，则∠DBH即为DB与面SBC所成的角，求出DH、DB，从而可求BD与面SBC所成的角的正弦值．

解答：（1）证明：作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．

连接AG，则FG

∥ .

.

1

2

CD，又CD

∥ .

.

AB，故FG

∥ .

.

AE
∴AEFG为平行四边形，∴EF∥AG，
又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
∴EF∥平面SAD．
（2）解：不妨设DC=2，则SD=4，过D作SC的垂线于交SC于H连接BH，则∠DBH即为DB与面SBC所成的角．
DH=

DC•SD

SC

=

2×4

2 5

，BD=2

2

，
所以sin∠DBH=

DH

DB

=

4

5

•

1

2 2

=

10

5

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，作出线面角，属于中档题．