Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，AD∥BC且AD⊥CD；平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS=2AD=2；E为BS的中点，CE=

2

，AS=

3

，求：
（Ⅰ）点A到平面BCS的距离；
（Ⅱ）二面角E-CD-A的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据线面平行的判定定理可知AD∥平面BCS，则从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离，从而DS为点A到平面BCS的距离，在Rt△ADS中求出DS即可；
（Ⅱ）过E点作EG⊥CD，交CD于点G，又过G点作GH⊥CD，交AB于H，根据二面角平面角的定义可知∠EGH为二面角E-CD-A的平面角，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，在Rt△FEG中，求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）因为AD∥BC，且BC?平面BCS，
所以AD∥平面BCS，
从而A点到平面BCS的距离等于D点到平面BCS的距离．
因为平面CSD⊥平面ABCD，AD⊥CD，
故AD⊥平面CSD，从而AD⊥SD，
由AD∥BC，得BC⊥DS，又由CS⊥DS知DS⊥平面BCS，
从而DS为点A到平面BCS的距离，
因此在Rt△ADS中DS=

AS2-AD2

=

3-1

=

2

（Ⅱ）如图，过E电作EG⊥CD，交CD于点G，
又过G点作GH⊥CD，交AB于H，
故∠EGH为二面角E-CD-A的平面角，
记为θ，过E点作EF∥BC，交CS于点F，连接GF，
因平面ABCD⊥平面CSD，GH⊥CD，
易知GH⊥GF，故θ=

π

2

-∠EGF．
由于E为BS边中点，故CF=

1

2

CS=1，
在Rt△CFE中，EF=

CE2-CF2

=

2-1

=1，
因EF⊥平面CSD，又EG⊥CD
故由三垂线定理的逆定理得FG⊥CD，
从而又可得△CGF～△CSD，
因此

GF

DS

=

CF

CD

而在Rt△CSD中，
CD=

CS2+SD2

=

4+2

=

6

，
故GF=

CF

CD

•DS=

1

6

•

2

=

1

3

在Rt△FEG中，tanEGF=

EF

FG

=

3

可得∠EGF=

π

3

，故所求二面角的大小为θ=

π

6

点评：本题主要考查了点到平面的距离，以及二面角的度量等有关知识，同时考查了计算能力、推理能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．