题目内容
（2011•浙江模拟）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+
=
．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若△ABC是锐角三角形，求sinB+sinC的取值范围．
分析：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB 代入条件化简可得sin（A+B）=2sinCcosA，求出cosA=
，从而求得角A．
（Ⅱ）化简sinB+sinC 为
sin(C+
)，根据角C+
的范围，结合正弦函数的定义域和值域求出sinB+sinC的取值范围．
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）化简sinB+sinC 为
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（Ⅰ） 在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB．
∵1+
=
，∴1+
=
，化简可得 sin（A+B）=2sinCcosA．
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴cosA=
，∵0＜A＜π，∴A=
．
（Ⅱ）sinB+sinC=sin(
-C)+sinC=sin
cosC-cos
sinC+sinC
=
sinC+
cosC=
sin(C+
)．
∵锐角三角形，所以，0＜C＜
，0＜B=
-C＜
，∴
＜C＜
，
＜C+
＜
，
∴sin(C+
)∈(
，1]，sinB+sinC∈(
，
]．
∵1+
| tanA |
| tanB |
| 2c |
| b |
| tanA |
| tanB |
| 2sinC |
| sinB |
∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴cosA=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）sinB+sinC=sin(
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
=
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵锐角三角形，所以，0＜C＜
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴sin(C+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
点评：本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式的应用，式子的变形，是解题的关键．
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