Question

设F₁、F₂分别是椭圆

x2

4

+y2=1的左、右焦点，B（0，-1）．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）若C为椭圆上异于B一点，且

BF1

=λ

CF1

，求λ的值；
（Ⅲ）设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF₁的周长的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆的方程，求出焦点的坐标，化简

PF1

•

PF2

的 解析式为

1

4

(3x2-8)，结合x∈[-2，2]，求得它的最值．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），由

BF1

=λ

CF1

，用λ 表示 x₀，y₀，把C（x₀，y₀）代入椭圆的方程求得λ值．
（Ⅲ） 因为|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，可得△PBF₁的周长≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．

解答：解：（Ⅰ）易知a=2，b=1，c=

3

，所以，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
设P（x，y），则

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y)=x2+y2-3 
=x2+1-

x2

4

-3=

1

4

(3x2-8)．
因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆短轴端点时，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
当x=±2，即点P为椭圆长轴端点时，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）设C（x₀，y₀），B（0，-1），F1(-

3

，0)，由

BF1

=λ

CF1

，得 x0=

3 (1-λ)

λ

，y0=-

1

λ

，
又 

x02

4

+y02=1，所以有 λ²+6λ-7=0，解得λ=-7，（λ=1＞0舍去）．  
（Ⅲ） 因为|PF₁|+|PB|=4-|PF₂|+|PB|≤4+|BF₂|，∴△PBF₁的周长≤4+|BF₂|+|BF₁|≤8．
所以当P点位于直线BF₂与椭圆的交点处时，△PBF₁周长最大，最大值为8．

点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，两个向量的数量积公式，解得λ=-7把λ=1＞0舍去，是解题的易错点．