Question

在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点．试根据这一定义，证明下列命题：若直线y=kx+b（k≠0）经过点M（

2

，1），则此直线不能经过两个有理点．

Answer 1

分析：假设此直线上有两个有理点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均为有理数，?y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，两式相减，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．由斜率k存在?k=

y1-y2

x1-x2

?k为有理数．?也是有理数．再由点M（

2

，1）在此直线上?

2

=

1-b

k

（k≠0）．?矛盾，得到结论．

解答：证明：假设此直线上有两个有理点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其中x₁、y₁、x₂、y₂均为有理数，则有y₁=kx₁+b，y₂=kx₂+b，两式相减，得y₁-y₂=k（x₁-x₂）．
∵斜率k存在，∴x₁≠x₂，得k=

y1-y2

x1-x2

．
而有理数经过四则运算后还是有理数，
故k为有理数．
又由y₁=kx₁+b知，b也是有理数．
又∵点M（

2

，1）在此直线上，∴1=

2

k+b，于是有

2

=

1-b

k

（k≠0）．此式左端为无理数，右端为有理数，显然矛盾，故此直线不能经过两个有理点．

点评：本题主要通过反证法来数的性质和数的运算．