题目内容
如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．（1）求cos＜
| BA1 |
| CB1 |
（2）求证：BN⊥平面C1MN．
分析：（1）以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，求得A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），从而可求得
=（1，-1，2），
=（0，1，2），
•
=3，|
|=
，|
|=
，于是可求得cos＜
，
＞的值．
（2）利用向量的坐标运算可求得
•
=0，
•
=0，C1M∩C1N=C1，由线面垂直的判定定理即可证得结论．
| BA1 |
| CB1 |
| BA1 |
| CB1 |
| BA1 |
| 6 |
| CB1 |
| 5 |
| BA1 |
| CB1 |
（2）利用向量的坐标运算可求得
| C1M |
| BN |
| C1N |
| BN |
解答：解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，
（1）依题意，A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），
∴
=（1，-1，2），
=（0，1，2），
∴
•
=1×0+（-1）×1+2×2=3，
又|
|=
，|
|=
，
∴cos＜
，
＞=
=
…6分
证明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（
，
，2），∴
=（
，
，2），
=（1，0，-1），
=（1，-1，1），
∴
•
=
×1+
×（-1）+1×0=0，同理可求
•
=0，
∴
⊥
，
⊥
，C1M∩C1N=C1，
∴BN⊥平面C1MN…12分．
（1）依题意，A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），
∴
| BA1 |
| CB1 |
∴
| BA1 |
| CB1 |
又|
| BA1 |
| 6 |
| CB1 |
| 5 |
∴cos＜
| BA1 |
| CB1 |
| ||||
|
|
| ||
| 10 |
证明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），
∴M（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| C1M |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| C1N |
| BN |
∴
| C1M |
| BN |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| C1N |
| BN |
∴
| C1M |
| BN |
| C1N |
| BN |
∴BN⊥平面C1MN…12分．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查异面直线及其所成的角，建立空间直角坐标系求得所需各点与向量的坐标是关键，考查分析与运算能力，空间转化的能力，属于中档题．
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