Question

【题目】如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．

（1）求证：AB1⊥CC1；
（2）若 ，求二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC1，CB1，则△ACC1和△BCC1皆为正三角形．

取CC1的中点O，连接OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，

又OA∩OB1=O，所以CC1⊥平面OAB1．

又AB1平面OAB1，所以CC1⊥AB1

（2）解：由（1）知， ，又 ，所以OA⊥OB1．

如图所示，以O为原点，以OB1，OC1，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则 ，

设平面CAB1的一个法向量为 ，

因为 ，

所以 取 ．

设平面A1AB1的一个法向量为 ，

因为 ，

所以 取 ．

则 ，

∴sin＜ ＞= = ．

所以二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值是 ．

【解析】（1）连接AC1 ， CB1 ， 取CC1的中点O，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1 ， 从而CC1⊥平面OAB1 ． 由此能证明CC1⊥AB1 ． （2）以O为原点，以OB1 ， OC1 ， OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣A1的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．