Question

【题目】在四棱锥中，底面为平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，是的中点.

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面 与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）由面面垂直的性质可得平面.可得 ，，结合得平面.由，可得，得到平面，从而可得结果；（2）根据直线与平面所成角的正弦值为,可求得， ，以，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的一个法向量，结合平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

（1）因为是等边三角形，是的中点，

所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

所以，

又因为，，

所以平面.所以.

又因为，所以.

又且，平面，所以平面.

所以.

（2）

由（1）得平面.

所以就是直线与平面所成角.

因为直线与平面所成角的正弦值为，即，所以.

所以，解得.则.

由（1）得，，两两垂直，所以以为原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则点，， ，，

所以，.

令平面的法向量为，则

由得解得

令，可得平面的一个法向量为；

易知平面的一个法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角的大小为，则.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.