Question

【题目】如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，平面，，，，，为棱的中点.

（1）证明：；

（2）求二面角的平面角的正弦值；

（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，计算出，可证明出；

（2）计算出平面和平面的法向量、，然后利用空间向量法计算出二面角的余弦定理，利用同角三角函数的基本关系可得出其正弦值；

（3）设，计算出，利用空间向量法并结合条件直线与平面所成角的正弦值为，求出的值，即可求出.

（1）如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

依题意得，，，，，.

易得，，于是，所以；

（2）易得.设平面的法向量为，,

则，

消去，得，不妨取，可得法向量.

由（1）知，又，可得平面，

故为平面的一个法向量.

于是，从而，

故二面角的平面角的正弦值为；

（3）易得，.

设，，则有，

可取为平面的一个法向量，

设为直线与平面所成的角，

则，

于是（舍去），则，

所以.