Question

已知Rt△ABC两锐角A，B的正弦值，是实系数方程2x2-2

3

kx+5k-3=0的两根．若数列{a_n}满足an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，且a₁=5．试求数列{a_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：由题意可得x1=sinA，x2=sinB=sin(

π

2

-A)=cosA，结合同角平分关系sin²A+cos²A=1可得x12+x22=1，由方程的根与系数关系可求k=1或k=

2

3

，经检验当k=1时，无解不合题意；当k=

2

3

时，符合题意，代入可得an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，从而可得 {a_n-1}是等比数列，可求a_n，由等比数列的求和公式及分组求和的方法可求

解答：解：∵方程的两根是一个直角三角形的两锐角A、B的正弦，
令x₁=sinA，x₂=sinB=cosA
∵sin²A+cos²A=1
∴x12+x22=1
∵x₁+x₂=

3

k，x₁x₂=

5k-3

3

∴3k2-2×

5k-3

2

=1，
即3k²-5k+2=0
∴k=1或k=

2

3

．
当k=1时，原方程为x2-

3

x+1=0，△＜0，不合题意．
当k=

2

3

时，原方程为2x2-

4 3

3

x+

1

3

=0，x₁，x₂∈（0，1），符合题意．
∵an+1=2an-

3

2

k(n∈N*)，
∴an+1=2an-1(n∈N*)，an+1-1=2(an-1)(n∈N*)，
从而 {a_n-1}是等比数列，an=2n+1+1
∴T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹+n=

4(1-2n)

1-2

+n=2ⁿ⁺²+n-4．

点评：本题是一元二次方程与三角函数相结合的题目，由递推公式构造等比数列求数列的通项公式，正确理解一元二次方程的根的判别式以及锐角三角函数的性质是解题关键．