Question

已知函数y=

1

3

x3+x2+x的图象C上存在一定点P满足：若过点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），且恒有y₁+y₂为定值y₀，则y₀的值为

-

2

3

．

Answer 1

分析：根据题意可知P点是函数图象的对称中心，由此求出函数的对称中心，即可求出定值，从而得出正确选项．

解答：解：y′=x²+2x+1=（x+1）²≥0，
函数y=

1

3

x3+x2+x单调递增，f′（-1）=0
则原函数关于P对称，f(-1)=-

1

3

，
所以定点P(-1，-

1

3

)，y1+y2=-

2

3

于是y₀=-

2

3

．
故答案为：-

2

3

．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、函数恒成立问题，P点是函数图象的对称中心是解题的突破口，属于中档题．