Question

已知函数y=

1

3

x3-

3a

2

x2+2a2x+1在区间（-2，1）上有极大值，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（-1，0）∪（0，1）
• B．（-2，0）∪（0，1）
• C．（-2，1）
• D．(-1，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：根据函数的极大值点，它的左边导数为正且右边导数为负，由此建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围．

解答：解：求导数，得y'=x²-3ax+2a²
∵函数y=

1

3

x3-

3a

2

x2+2a2x+1在区间（-2，1）上有极大值，
∴令y'=0，得x=a或2a，
当a=0时，显然函数没有极值点；
当a＞0时，x=a为较小的根，可得a∈（-2，1），得0＜a＜1；
当a＜0时，x=2a为较小的根，可得2a∈（-2，1），得-1＜a＜0
可得a∈（-1，0）∪（0，1）
故选：A

点评：本题给出三次多项式函数在给定区间上有极大值，求实数a的取值范围．着重考查了利用导数研究函数单调性和不等式的解法等知识，属于中档题．