Question

已知函数y=

1

3

x3+x2-8x的图象C上存在一个定点P满足：若过定点P的直线l与曲线C交于不同于P的两点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），就恒有y₁+y₂为定值y₀，则y₀的值为（　　）

• A、-

  1

  3

• B、

  52

  3

• C、-

  4

  3

• D、-2

Answer 1

分析：先根据题意判断出MN两点关于P点对称，求得函数导函数和二阶导函数，根据三次函数的对称中心的二阶导数为0，进而求得点P的坐标，则y₁+y₂的值可求得．

解答：解：P为定点，y₁+y₂为定值，
∴MN两点关于P点对称
y′=x²+2x-8
y〃=2x+2
三次函数的对称中心的二阶导数为0
y〃=2x+2=0
x=-1
故P点为（-1，

26

3

）
∴y₁+y₂=2×

26

3

=

52

3

点评：本题主要考查了导函数的几何意义．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．