Question

【题目】若定义在上的函数满足条件：存在实数且，使得：

⑴ 任取，有（是常数）；

⑵ 对于内任意，当，总有.

我们将满足上述两条件的函数称为“平顶型”函数，称为“平顶高度”，称为“平顶宽度”.根据上述定义，解决下列问题：

（1）函数是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由.

（2） 已知是“平顶型”函数，求出的值.

（3）对于（2）中的函数，若在上有两个不相等的根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)是 “平顶型”函数，平顶高度为，平顶宽度为;

⑵;(3).

【解析】

(1)利用零点分段讨论法去掉绝对值，转化为分段函数，结合“平顶型”函数的定义可得；

（2）结合“平顶型”函数的定义可得方程组，求解方程组可得；

（3）根据分段函数的特点，逐段进行求解即可.

(1)，

则存在区间使时,,

且当和时，恒成立.

所以函数是 “平顶型”函数，平顶高度为，平顶宽度为.

⑵ 存在区间，使得恒成立

则恒成立，则或

当时，不是“平顶型”函数.

当时，是“平顶型”函数.

(3)时，，则，得或;

时，，则，得;

所以.